Parameterform Der Ebenengleichung

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Aufstellen von Ebenengleichungen aus 3 Punkten

Parameterform der Ebenengleichung

Zunächst bestimmen wir die Parameterform der Ebenengleichung. Diese lässt sich mit Hilfe des Kreuzprodukts der Richtungsvektoren zweier Geraden aufstellen, die durch zwei der drei gegebenen Punkte verlaufen.

Vektorielle Gleichung

Die vektorielle Gleichung der Ebenengleichung lautet:

``` r = p + s * v + t * w ``` * **p**: Ortsvektor des ersten Punktes * **v**: Richtungsvektor der Geraden durch den ersten und zweiten Punkt * **w**: Richtungsvektor der Geraden durch den ersten und dritten Punkt * **s, t**: Parameter

Koordinatengleichung der Ebenengleichung

Die Koordinatengleichung der Ebenengleichung lässt sich aus der Parameterform ableiten. Sie hat die allgemeine Form:

``` a * x + b * y + c * z + d = 0 ``` * **a, b, c**: Normalenvektor der Ebene * **d**: Abstand der Ebene zum Ursprung

Aufstellen der Ebenengleichung

Gegeben seien die drei Punkte A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) und C(x3, y3, z3). Dann lässt sich die Ebenengleichung wie folgt aufstellen:

``` - Bestimme die Richtungsvektoren v = AB und w = AC. - Berechne den Normalenvektor n = v x w. - Setze einen der drei Punkte in die Koordinatengleichung ein und löse nach d auf. ```

Fazit

Die Ebenengleichung ist ein wichtiges mathematisches Werkzeug, das in vielen Bereichen der Mathematik und Physik Anwendung findet. Durch das Aufstellen von Ebenengleichungen aus drei Punkten können wir die geometrischen Eigenschaften von Ebenen beschreiben und analysieren.